추첨의 공평성을 과학적으로 증명하는 방법【수학·통계학으로 이해하는 무작위성】
"정말 공평한 추첨, 어떻게 증명할 수 있을까?" "아미다쿠지가 공평하다는 수학적 근거는?"
추첨의 공평성은 감각이 아닌 수학과 통계학으로 엄밀하게 정의·증명할 수 있습니다.
이 글에서는 추첨 방법의 공평성을 과학적 관점에서 철저히 해설합니다. 수식은 최소한으로, 도해를 중심으로 알기 쉽게 설명합니다.
공평한 추첨의 4가지 조건
수학적으로 "공평"하다고 할 수 있는 조건은 다음 4가지입니다.
조건 1: 등확률성(Equal Probability)
정의: 모든 참가자가 모든 결과에 도달할 확률이 같을 것.
수식:
P(참가자i 가 결과j 에 도달) = 1/n
n = 참가자 수(=결과의 수)
예: 5명이 5개 결과를 추첨하는 경우, 각자가 각 결과를 얻을 확률은 1/5 = 20%
조건 2: 독립성(Independence)
정의: 이전 추첨 결과가 다음 추첨에 영향을 주지 않을 것.
수식:
P(이번 결과 | 이전 결과) = P(이번 결과)
예: 이전에 A씨가 1위였어도 이번에 A씨가 1위가 될 확률은 변하지 않음.
조건 3: 예측 불가능성(Unpredictability)
정의: 추첨 실행 전에 결과를 예측할 수 없을 것.
기준:
- 인간의 계산 능력으로는 예측 불가능
- 일정 이상의 복잡성(엔트로피)이 있음
조건 4: 일대일 대응(Bijection)
정의: 모든 참가자가 반드시 다른 결과를 얻을 것.
수학적 표현:
사상 f: 참가자 집합 → 결과 집합 이 전단사
의미:
- 전사: 모든 결과에 누군가가 도달(결락 없음)
- 단사: 같은 결과에 여러 명이 도달하지 않음(중복 없음)
아미다쿠지의 수학적 증명
증명 1: 일대일 대응 보증
정리: 아미다쿠지는 반드시 일대일 대응을 만족함.
증명:
단계 1: 구조 확인
- n개의 세로선: L₁, L₂, ..., Lₙ
- m개의 가로선: h₁, h₂, ..., hₘ
- 각 가로선은 인접한 2개의 세로선만을 연결
단계 2: 경로의 유일성 각 세로선에서 출발하면:
- 아래로 진행
- 가로선을 만나면 반드시 건넘
- 다시 세로선을 아래로 진행
- 이를 반복하여 골에 도달
이 과정은 결정적이며, 같은 시작점에서는 반드시 같은 골에 도달함.
단계 3: 치환의 증명 아미다쿠지는 수학적으로 **치환(permutation)**을 나타냄.
가로선 1개의 효과:
세로선의 위치 i 와 i+1 을 교환
m개 가로선의 효과:
m개 치환의 합성
치환은 반드시 전단사(bijection)이므로 일대일 대응이 보증됨.
결론: 아미다쿠지는 수학적으로 일대일 대응이 보증됨. ■
증명 2: 등확률성
정리: 가로선이 무작위로 배치되는 경우, 모든 치환이 등확률로 생성됨.
증명 개요:
n개 세로선의 치환은 n! 가지 존재함.
예: 3개면 3! = 6가지
- (1,2,3) → (1,2,3)
- (1,2,3) → (1,3,2)
- (1,2,3) → (2,1,3)
- (1,2,3) → (2,3,1)
- (1,2,3) → (3,1,2)
- (1,2,3) → (3,2,1)
가로선 배치가 충분히 무작위인 경우:
각 가로선의 위치가 독립적으로 무작위로 선택되는 경우, 충분한 수의 가로선을 그으면 모든 치환을 등확률로 생성할 수 있음이 증명됨(Fisher-Yates 셔플 이론).
실용적인 가로선 수:
- n개 세로선에 대해 약 2n개의 가로선이면 충분
- 예: 10명이면 20개 가로선
결론: 가로선이 충분히 무작위로 배치되면 등확률성이 만족됨. ■
증명 3: 예측 불가능성
정리: 가로선이 3개 이상이면 인간이 시각적으로 결과를 예측하기 어려움.
계산량 분석:
가로선 0개:
- 예측 시간: O(1)(즉시 알 수 있음)
- 각 세로선은 자기 자신에 도달
가로선 1개:
- 예측 시간: O(1)(즉시 알 수 있음)
- 가로선으로 연결된 2개만 교환
가로선 2개:
- 예측 시간: O(n)(선형 시간으로 추적 가능)
- 익숙해지면 시각적으로 예측 가능
가로선 3개 이상:
- 예측 시간: O(m)(가로선 수에 비례)
- 가로선이 늘수록 복잡성 증가
- 10개 이상에서는 실질적으로 예측 불가능
심리학적 연구: 인간의 시각 추적 능력은 3개 이상의 교차점에서 급격히 저하됨이 알려져 있음.
결론: 가로선이 3개 이상이면 예측 불가능성이 실용적으로 만족됨. ■
다른 추첨 방법과의 비교
제비뽑기의 수학적 분석
구조:
- n개의 제비: k₁, k₂, ..., kₙ
- 각 제비에 결과 할당
- 참가자가 뽑는 순서: 순열
문제점:
1. 중복·결락 가능성
제비 작성 실수 → 결과 중복이나 결락
예: "당첨"이 2장, "꽝"이 부족
수학적 보증: 없음
2. 작성자의 조작 가능성
작성자가 결과를 알고 있음
→ 특정 제비를 추천 가능
투명성: 낮음
등확률성: ○(올바르게 만들어지면) 독립성: ○ 예측 불가능성: △(작성자는 알고 있음) 일대일 대응: △(보증 안 됨)
룰렛(디지털)의 수학적 분석
구조:
- 의사난수생성기(PRNG) 사용
- 선형합동법 등의 알고리즘
알고리즘 예(선형합동법):
X(n+1) = (a × X(n) + c) mod m
문제점:
1. 의사난수의 한계
진정한 난수가 아니라 결정적 알고리즘
시드값을 알면 결과 예측 가능
2. 주기성
의사난수는 반드시 주기를 가짐
주기: 최대 m(mod 값)
3. 투명성 부족
사용자는 알고리즘을 검증할 수 없음
블랙박스화
등확률성: ○(알고리즘 의존) 독립성: △(시드 의존) 예측 불가능성: △(알고리즘 의존) 일대일 대응: ○(설계 의존)
가위바위보의 수학적 분석
게임 이론 모델:
- 2인 제로섬 게임
- 내시 균형: (1/3, 1/3, 1/3)
문제점:
1. 심리적 편향
인간은 완전히 무작위 선택을 할 수 없음
첫 수는 "바위"가 많음(통계적으로 증명됨)
상대의 버릇을 읽을 수 있음
2. 비김 빈발
2명의 경우: 비김 확률 = 1/3
n명의 경우: 비김 확률이 매우 높음
3. 일대일 대응 불성립
동시에 여러 명이 이길 가능성
→ 일대일 대응 보증 안 됨
등확률성: △(심리적 편향) 독립성: ×(상대 선택에 의존) 예측 불가능성: △(전략성이 있음) 일대일 대응: ×
비교 정리표
| 추첨 방법 | 등확률성 | 독립성 | 예측 불가능성 | 일대일 대응 | 투명성 |
|---|---|---|---|---|---|
| 아미다쿠지 | ◎ | ◎ | ◎ | ◎ | ◎ |
| 제비뽑기 | ○ | ○ | △ | △ | △ |
| 룰렛 | ○ | △ | △ | ○ | × |
| 가위바위보 | △ | × | △ | × | ◎ |
| Excel 난수 | ○ | △ | △ | ○ | △ |
통계학적 검증 방법
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실제 추첨이 공평한지 통계적으로 검증하는 방법을 소개합니다.
검증 1: 카이제곱 검정(χ² 검정)
목적: 각 결과의 출현 횟수가 같은지 검증
절차:
가설 설정
- 귀무가설 H₀: 모든 결과가 등확률로 출현
- 대립가설 H₁: 편향이 있음
데이터 수집
- 추첨을 100회 실시
- 각 결과의 출현 횟수 기록
통계량 계산
χ² = Σ [(관측값 - 기댓값)² / 기댓값]
- 판정
- χ²값 < 임계값 → 편향 없음
- χ²값 ≥ 임계값 → 편향 있음
예: 5개 결과로 100회 추첨
| 결과 | 관측값 | 기댓값 | (O-E)²/E |
|---|---|---|---|
| A | 22 | 20 | 0.2 |
| B | 19 | 20 | 0.05 |
| C | 18 | 20 | 0.2 |
| D | 21 | 20 | 0.05 |
| E | 20 | 20 | 0 |
| 합계 | 100 | 100 | 0.5 |
χ² = 0.5 < 임계값(9.49) → 편향 없음
검증 2: 콜모고로프-스미르노프 검정
목적: 분포의 균일성 검증
대규모 데이터(1000회 이상)의 검증에 적합합니다.
검증 3: 엔트로피 측정
목적: 무작위성의 정도를 정량화
섀넌 엔트로피:
H = -Σ [P(i) × log₂ P(i)]
최대 엔트로피(완전히 무작위):
H_max = log₂ n
예: 5개 결과면 H_max = log₂ 5 ≈ 2.32
실제 엔트로피가 이에 가까우면 무작위성이 높음.
실천: 아미다쿠지의 공평성 체험
실험 1: 소규모 아미다쿠지(3명)
설정:
- 3개 세로선
- 3개 가로선
모든 가능한 결과(3! = 6가지):
1. (1,2,3) → (1,2,3)
2. (1,2,3) → (1,3,2)
3. (1,2,3) → (2,1,3)
4. (1,2,3) → (2,3,1)
5. (1,2,3) → (3,1,2)
6. (1,2,3) → (3,2,1)
가로선 배치 패턴을 바꿔가며 각 결과가 등확률로 출현함을 확인해보세요.
실험 2: 대규모 시뮬레이션
무료 온라인 사다리타기에서 다음을 시도해보세요:
- 10명으로 100회 추첨 실시
- 각자가 "1위"를 차지한 횟수 기록
- 이론값 10회에 가까운지 확인
예상 결과: 각자가 1위를 차지하는 횟수는 약 10회(±3회 정도 편차)
자주 묻는 질문
Q1: 가로선이 적으면 공평하지 않나요?
답변: 가로선이 적으면 다음 문제가 있습니다:
- 모든 치환이 등확률로 생성되지 않음
- 예측이 쉬워짐
권장 수: n명의 경우 2n개 이상의 가로선을 긋는 것을 권장합니다.
Q2: 가로선을 긋는 순서는 영향을 줍니까?
답변: 아니요, 영향을 주지 않습니다.
수학적 이유: 치환의 합성은 결합적(associative)이므로 어느 순서로 가로선을 그어도 최종 치환은 같습니다.
Q3: 디지털 도구의 난수는 신뢰할 수 있나요?
답변: 도구에 따라 다릅니다. 신뢰할 수 있는 도구의 조건:
- 오픈소스로 검증 가능
- 암호학적으로 안전한 난수생성기(CSPRNG) 사용
- 투명성 높은 구조
보안 중심의 추첨 도구 선택도 중요합니다. Amida-san은 참가자 전원이 가로선을 추가하므로 운영자도 결과를 조작할 수 없습니다.
Q4: 인간이 가로선을 그으면 무작위가 아니지 않나요?
답변: 개인은 의도적으로 배치할 수 있지만 여러 사람의 의도가 섞이면 결과적으로 무작위성이 생깁니다.
이는 "군중의 지혜"와 유사한 현상으로, 많은 독립적 판단이 모이면 전체적으로 균형이 잡힙니다.
Q5: 아미다쿠지보다 공평한 방법은 없나요?
답변: 이론적으로는 **진정난수생성기(TRNG)**를 사용한 디지털 추첨이 가장 공평합니다.
하지만 TRNG는:
- 특수 하드웨어 필요
- 투명성 낮음(블랙박스)
- 참가자가 검증 불가
아미다쿠지는 공평성과 투명성의 균형이 가장 우수합니다.
정리
추첨의 공평성을 과학적으로 증명하기 위한 조건:
- 등확률성: 모든 결과가 등확률
- 독립성: 이전 결과에 영향받지 않음
- 예측 불가능성: 사전 예측 곤란
- 일대일 대응: 전원이 다른 결과
아미다쿠지는 이들 모두를 수학적으로 만족함:
- 일대일 대응: 치환 성질에 의해 보증
- 등확률성: 충분한 가로선으로 Fisher-Yates 이론에 의해 보증
- 예측 불가능성: 3개 이상 가로선으로 실용적으로 만족
- 투명성: 과정이 완전히 가시화
과학적으로 증명된 공평한 추첨을 실현하려면 Amida-san을 활용하세요. 회사 파티나 학교 행사에서도 활용할 수 있습니다.