추첨의 공평성을 과학적으로 증명하는 방법

"정말 공평한 추첨, 어떻게 증명할 수 있을까?" "아미다쿠지가 공평하다는 수학적 근거는?"

추첨의 공평성은 감각이 아닌 수학과 통계학으로 엄밀하게 정의·증명할 수 있습니다.

이 글에서는 추첨 방법의 공평성을 과학적 관점에서 철저히 해설합니다. 수식은 최소한으로, 도해를 중심으로 알기 쉽게 설명합니다.

공평한 추첨의 4가지 조건

수학적으로 "공평"하다고 할 수 있는 조건은 다음 4가지입니다.

조건 1: 등확률성(Equal Probability)

정의: 모든 참가자가 모든 결과에 도달할 확률이 같을 것.

수식:

P(참가자i 가 결과j 에 도달) = 1/n

n = 참가자 수(=결과의 수)

예: 5명이 5개 결과를 추첨하는 경우, 각자가 각 결과를 얻을 확률은 1/5 = 20%

조건 2: 독립성(Independence)

정의: 이전 추첨 결과가 다음 추첨에 영향을 주지 않을 것.

수식:

P(이번 결과 | 이전 결과) = P(이번 결과)

예: 이전에 A씨가 1위였어도 이번에 A씨가 1위가 될 확률은 변하지 않음.

조건 3: 예측 불가능성(Unpredictability)

정의: 추첨 실행 전에 결과를 예측할 수 없을 것.

기준:

• 인간의 계산 능력으로는 예측 불가능
• 일정 이상의 복잡성(엔트로피)이 있음

조건 4: 일대일 대응(Bijection)

정의: 모든 참가자가 반드시 다른 결과를 얻을 것.

수학적 표현:

사상 f: 참가자 집합 → 결과 집합 이 전단사

의미:

• 전사: 모든 결과에 누군가가 도달(결락 없음)
• 단사: 같은 결과에 여러 명이 도달하지 않음(중복 없음)

아미다쿠지의 수학적 증명

증명 1: 일대일 대응 보증

정리: 아미다쿠지는 반드시 일대일 대응을 만족함.

증명:

단계 1: 구조 확인

• n개의 세로선: L₁, L₂, ..., Lₙ
• m개의 가로선: h₁, h₂, ..., hₘ
• 각 가로선은 인접한 2개의 세로선만을 연결

단계 2: 경로의 유일성 각 세로선에서 출발하면:

1. 아래로 진행
2. 가로선을 만나면 반드시 건넘
3. 다시 세로선을 아래로 진행
4. 이를 반복하여 골에 도달

이 과정은 결정적이며, 같은 시작점에서는 반드시 같은 골에 도달함.

단계 3: 치환의 증명 아미다쿠지는 수학적으로 **치환(permutation)**을 나타냄.

가로선 1개의 효과:

세로선의 위치 i 와 i+1 을 교환

m개 가로선의 효과:

m개 치환의 합성

치환은 반드시 전단사(bijection)이므로 일대일 대응이 보증됨.

결론: 아미다쿠지는 수학적으로 일대일 대응이 보증됨. ■

증명 2: 등확률성

정리: 가로선이 무작위로 배치되는 경우, 모든 치환이 등확률로 생성됨.

증명 개요:

n개 세로선의 치환은 n! 가지 존재함.

예: 3개면 3! = 6가지

• (1,2,3) → (1,2,3)
• (1,2,3) → (1,3,2)
• (1,2,3) → (2,1,3)
• (1,2,3) → (2,3,1)
• (1,2,3) → (3,1,2)
• (1,2,3) → (3,2,1)

가로선 배치가 충분히 무작위인 경우:

각 가로선의 위치가 독립적으로 무작위로 선택되는 경우, 충분한 수의 가로선을 그으면 모든 치환을 등확률로 생성할 수 있음이 증명됨(Fisher-Yates 셔플 이론).

실용적인 가로선 수:

• n개 세로선에 대해 약 2n개의 가로선이면 충분
• 예: 10명이면 20개 가로선

결론: 가로선이 충분히 무작위로 배치되면 등확률성이 만족됨. ■

증명 3: 예측 불가능성

정리: 가로선이 3개 이상이면 인간이 시각적으로 결과를 예측하기 어려움.

계산량 분석:

가로선 0개:

• 예측 시간: O(1)(즉시 알 수 있음)
• 각 세로선은 자기 자신에 도달

가로선 1개:

• 예측 시간: O(1)(즉시 알 수 있음)
• 가로선으로 연결된 2개만 교환

가로선 2개:

• 예측 시간: O(n)(선형 시간으로 추적 가능)
• 익숙해지면 시각적으로 예측 가능

가로선 3개 이상:

• 예측 시간: O(m)(가로선 수에 비례)
• 가로선이 늘수록 복잡성 증가
• 10개 이상에서는 실질적으로 예측 불가능

심리학적 연구: 인간의 시각 추적 능력은 3개 이상의 교차점에서 급격히 저하됨이 알려져 있음.

결론: 가로선이 3개 이상이면 예측 불가능성이 실용적으로 만족됨. ■

다른 추첨 방법과의 비교

제비뽑기의 수학적 분석

구조:

• n개의 제비: k₁, k₂, ..., kₙ
• 각 제비에 결과 할당
• 참가자가 뽑는 순서: 순열

문제점:

1. 중복·결락 가능성

제비 작성 실수 → 결과 중복이나 결락
예: "당첨"이 2장, "꽝"이 부족

수학적 보증: 없음

2. 작성자의 조작 가능성

작성자가 결과를 알고 있음
→ 특정 제비를 추천 가능

투명성: 낮음

등확률성: ○(올바르게 만들어지면) 독립성: ○ 예측 불가능성: △(작성자는 알고 있음) 일대일 대응: △(보증 안 됨)

룰렛(디지털)의 수학적 분석

구조:

• 의사난수생성기(PRNG) 사용
• 선형합동법 등의 알고리즘

알고리즘 예(선형합동법):

X(n+1) = (a × X(n) + c) mod m

문제점:

1. 의사난수의 한계

진정한 난수가 아니라 결정적 알고리즘
시드값을 알면 결과 예측 가능

2. 주기성

의사난수는 반드시 주기를 가짐
주기: 최대 m(mod 값)

3. 투명성 부족

사용자는 알고리즘을 검증할 수 없음
블랙박스화

등확률성: ○(알고리즘 의존) 독립성: △(시드 의존) 예측 불가능성: △(알고리즘 의존) 일대일 대응: ○(설계 의존)

가위바위보의 수학적 분석

게임 이론 모델:

• 2인 제로섬 게임
• 내시 균형: (1/3, 1/3, 1/3)

문제점:

1. 심리적 편향

인간은 완전히 무작위 선택을 할 수 없음
첫 수는 "바위"가 많음(통계적으로 증명됨)
상대의 버릇을 읽을 수 있음

2. 비김 빈발

2명의 경우: 비김 확률 = 1/3
n명의 경우: 비김 확률이 매우 높음

3. 일대일 대응 불성립

동시에 여러 명이 이길 가능성
→ 일대일 대응 보증 안 됨

등확률성: △(심리적 편향) 독립성: ×(상대 선택에 의존) 예측 불가능성: △(전략성이 있음) 일대일 대응: ×

비교 정리표

다양한 추첨 방법 상세 비교

추첨 방법	등확률성	독립성	예측 불가능성	일대일 대응	투명성
아미다쿠지	◎	◎	◎	◎	◎
제비뽑기	○	○	△	△	△
룰렛	○	△	△	○	×
가위바위보	△	×	△	×	◎
Excel 난수	○	△	△	○	△

통계학적 검증 방법

실제 추첨이 공평한지 통계적으로 검증하는 방법을 소개합니다.

검증 1: 카이제곱 검정(χ² 검정)

목적: 각 결과의 출현 횟수가 같은지 검증

절차:

1. 가설 설정

   • 귀무가설 H₀: 모든 결과가 등확률로 출현
   • 대립가설 H₁: 편향이 있음

2. 데이터 수집

   • 추첨을 100회 실시
   • 각 결과의 출현 횟수 기록

3. 통계량 계산

χ² = Σ [(관측값 - 기댓값)² / 기댓값]

4. 판정
   • χ²값 < 임계값 → 편향 없음
   • χ²값 ≥ 임계값 → 편향 있음

예: 5개 결과로 100회 추첨

결과	관측값	기댓값	(O-E)²/E
A	22	20	0.2
B	19	20	0.05
C	18	20	0.2
D	21	20	0.05
E	20	20	0
합계	100	100	0.5

χ² = 0.5 < 임계값(9.49) → 편향 없음

검증 2: 콜모고로프-스미르노프 검정

목적: 분포의 균일성 검증

대규모 데이터(1000회 이상)의 검증에 적합합니다.

검증 3: 엔트로피 측정

목적: 무작위성의 정도를 정량화

섀넌 엔트로피:

H = -Σ [P(i) × log₂ P(i)]

최대 엔트로피(완전히 무작위):

H_max = log₂ n

예: 5개 결과면 H_max = log₂ 5 ≈ 2.32

실제 엔트로피가 이에 가까우면 무작위성이 높음.

실천: 아미다쿠지의 공평성 체험

실험 1: 소규모 아미다쿠지(3명)

설정:

• 3개 세로선
• 3개 가로선

모든 가능한 결과(3! = 6가지):

1. (1,2,3) → (1,2,3)
2. (1,2,3) → (1,3,2)
3. (1,2,3) → (2,1,3)
4. (1,2,3) → (2,3,1)
5. (1,2,3) → (3,1,2)
6. (1,2,3) → (3,2,1)

가로선 배치 패턴을 바꿔가며 각 결과가 등확률로 출현함을 확인해보세요.

실험 2: 대규모 시뮬레이션

무료 온라인 사다리타기에서 다음을 시도해보세요:

1. 10명으로 100회 추첨 실시
2. 각자가 "1위"를 차지한 횟수 기록
3. 이론값 10회에 가까운지 확인

예상 결과: 각자가 1위를 차지하는 횟수는 약 10회(±3회 정도 편차)

자주 묻는 질문

Q1: 가로선이 적으면 공평하지 않나요?

답변: 가로선이 적으면 다음 문제가 있습니다:

• 모든 치환이 등확률로 생성되지 않음
• 예측이 쉬워짐

권장 수: n명의 경우 2n개 이상의 가로선을 긋는 것을 권장합니다.

Q2: 가로선을 긋는 순서는 영향을 줍니까?

답변: 아니요, 영향을 주지 않습니다.

수학적 이유: 치환의 합성은 결합적(associative)이므로 어느 순서로 가로선을 그어도 최종 치환은 같습니다.

Q3: 디지털 도구의 난수는 신뢰할 수 있나요?

답변: 도구에 따라 다릅니다. 신뢰할 수 있는 도구의 조건:

• 오픈소스로 검증 가능
• 암호학적으로 안전한 난수생성기(CSPRNG) 사용
• 투명성 높은 구조

보안 중심의 추첨 도구 선택도 중요합니다. Amida-san은 참가자 전원이 가로선을 추가하므로 운영자도 결과를 조작할 수 없습니다.

Q4: 인간이 가로선을 그으면 무작위가 아니지 않나요?

답변: 개인은 의도적으로 배치할 수 있지만 여러 사람의 의도가 섞이면 결과적으로 무작위성이 생깁니다.

이는 "군중의 지혜"와 유사한 현상으로, 많은 독립적 판단이 모이면 전체적으로 균형이 잡힙니다.

Q5: 아미다쿠지보다 공평한 방법은 없나요?

답변: 이론적으로는 **진정난수생성기(TRNG)**를 사용한 디지털 추첨이 가장 공평합니다.

하지만 TRNG는:

• 특수 하드웨어 필요
• 투명성 낮음(블랙박스)
• 참가자가 검증 불가

아미다쿠지는 공평성과 투명성의 균형이 가장 우수합니다.

정리

추첨의 공평성을 과학적으로 증명하기 위한 조건:

1. 등확률성: 모든 결과가 등확률
2. 독립성: 이전 결과에 영향받지 않음
3. 예측 불가능성: 사전 예측 곤란
4. 일대일 대응: 전원이 다른 결과

아미다쿠지는 이들 모두를 수학적으로 만족함:

• 일대일 대응: 치환 성질에 의해 보증
• 등확률성: 충분한 가로선으로 Fisher-Yates 이론에 의해 보증
• 예측 불가능성: 3개 이상 가로선으로 실용적으로 만족
• 투명성: 과정이 완전히 가시화

과학적으로 증명된 공평한 추첨을 실현하려면 Amida-san을 활용하세요. 회사 파티나 학교 행사에서도 활용할 수 있습니다.