如何科学证明抽奖公平性

"真正公平的抽奖,如何证明?" "阿弥陀籤公平的数学依据是什么?"

抽奖的公平性不是靠感觉,而是可以用数学和统计学严格定义·证明的。

本文从科学角度彻底解说抽奖方法的公平性。将数学公式减到最少,以图解为中心通俗易懂地说明。

公平抽奖的4个条件

数学上能称为"公平"的条件是以下4个。

条件1:等概率性(Equal Probability)

定义: 所有参与者到达所有结果的概率相等。

公式:

P(参与者i 到达结果j) = 1/n

n = 参与者数(=结果数)

例: 5人抽5个结果的情况,每人获得各结果的概率为 1/5 = 20%

条件2:独立性(Independence)

定义: 上次抽奖结果不影响下次抽奖。

公式:

P(本次结果 | 上次结果) = P(本次结果)

例: 即使上次A先生是第1名,本次A先生成为第1名的概率也不变。

条件3:不可预测性(Unpredictability)

定义: 抽奖执行前无法预测结果。

标准:

• 以人类计算能力无法预测
• 有一定以上的复杂性(熵)

条件4:一一对应(Bijection)

定义: 所有参与者必定得到不同结果。

数学表达:

映射 f: 参与者集合 → 结果集合 为双射

意义:

• 满射:所有结果都有人到达(无缺失)
• 单射:不会有多人到达同一结果(无重复)

阿弥陀籤的数学证明

证明1:保证一一对应

定理: 阿弥陀籤必定满足一一对应。

证明:

步骤1:结构确认

• n条竖线: L₁, L₂, ..., Lₙ
• m条横线: h₁, h₂, ..., hₘ
• 每条横线仅连接相邻2条竖线

步骤2:路径唯一性 从各竖线出发:

1. 向下前进
2. 遇到横线必定通过
3. 再次沿竖线向下前进
4. 重复此过程到达终点

此过程是确定性的,从同一起点必定到达同一终点。

步骤3:置换证明 阿弥陀籤在数学上表示置换(permutation)。

1条横线的效果:

交换竖线位置 i 和 i+1

m条横线的效果:

m个置换的合成

置换必定是双射(bijection),因此保证一一对应。

结论: 阿弥陀籤数学上保证一一对应。■

证明2:等概率性

定理: 横线随机配置时,所有置换以等概率生成。

证明概要:

n条竖线的置换有 n! 种。

例: 3条则 3! = 6种

• (1,2,3) → (1,2,3)
• (1,2,3) → (1,3,2)
• (1,2,3) → (2,1,3)
• (1,2,3) → (2,3,1)
• (1,2,3) → (3,1,2)
• (1,2,3) → (3,2,1)

横线配置充分随机时:

各横线位置独立随机选择时,通过画足够数量的横线可以等概率生成所有置换,这已被证明(Fisher-Yates洗牌理论)。

实用的横线数:

• 对n条竖线,约2n条横线即可
• 例: 10人则20条横线

结论: 横线充分随机配置时满足等概率性。■

证明3:不可预测性

定理: 横线3条以上时,人类难以视觉预测结果。

计算量分析:

横线0条:

• 预测时间: O(1)(立即可知)
• 各竖线到达自身

横线1条:

• 预测时间: O(1)(立即可知)
• 仅横线连接的2条交换

横线2条:

• 预测时间: O(n)(可以线性时间追踪)
• 熟练后可视觉预测

横线3条以上:

• 预测时间: O(m)(与横线数成正比)
• 横线越多复杂性越增加
• 10条以上实质上无法预测

心理学研究: 已知人类视觉追踪能力在3个以上交叉点急剧下降。

结论: 横线3条以上时实用上满足不可预测性。■

与其他抽奖方法比较

抽签的数学分析

结构:

• n个签: k₁, k₂, ..., kₙ
• 为各签分配结果
• 参与者抽取顺序: 排列

问题点:

1. 重复·缺失可能性

签制作错误 → 结果重复或缺失
例: "中奖"有2张,"落选"不足

数学保证: 无

2. 制作者可操作性

制作者知道结果
→ 可推荐特定签

透明性: 低

等概率性: ○(正确制作时) 独立性: ○ 不可预测性: △(制作者知道) 一一对应: △(无保证)

轮盘(数字)的数学分析

结构:

• 使用伪随机数生成器(PRNG)
• 线性同余法等算法

算法例(线性同余法):

X(n+1) = (a × X(n) + c) mod m

问题点:

1. 伪随机的局限

非真随机,是确定性算法
知道种子值就可预测结果

2. 周期性

伪随机数必定有周期
周期: 最大 m(mod值)

3. 缺乏透明性

用户无法验证算法
黑盒化

等概率性: ○(取决于算法) 独立性: △(取决于种子) 不可预测性: △(取决于算法) 一一对应: ○(取决于设计)

剪刀石头布的数学分析

博弈论模型:

• 二人零和游戏
• 纳什均衡: (1/3, 1/3, 1/3)

问题点:

1. 心理偏向

人类无法完全随机选择
首次出拳"石头"较多(统计已证明)
可读对手习惯

2. 平局频发

2人情况: 平局概率 = 1/3
n人情况: 平局概率非常高

3. 一一对应不成立

可能同时多人获胜
→ 无法保证一一对应

等概率性: △(心理偏向) 独立性: ×(依赖对手选择) 不可预测性: △(有策略性) 一一对应: ×

比较汇总表

抽奖方法	等概率性	独立性	不可预测性	一一对应	透明性
阿弥陀籤	◎	◎	◎	◎	◎
抽签	○	○	△	△	△
轮盘	○	△	△	○	×
剪刀石头布	△	×	△	×	◎
Excel随机	○	△	△	○	△

统计学验证方法

介绍统计学验证实际抽奖是否公平的方法。

验证1:卡方检验(χ²检验)

目的: 验证各结果出现次数是否相等

步骤:

1. 设定假设

   • 零假设 H₀: 所有结果等概率出现
   • 对立假设 H₁: 有偏向

2. 收集数据

   • 实施100次抽奖
   • 记录各结果出现次数

3. 计算统计量

χ² = Σ [(观测值 - 期望值)² / 期望值]

4. 判定
   • χ²值 < 临界值 → 无偏向
   • χ²值 ≥ 临界值 → 有偏向

例: 5个结果100次抽奖

结果	观测值	期望值	(O-E)²/E
A	22	20	0.2
B	19	20	0.05
C	18	20	0.2
D	21	20	0.05
E	20	20	0
合计	100	100	0.5

χ² = 0.5 < 临界值(9.49) → 无偏向

验证2:柯尔莫哥洛夫-斯米尔诺夫检验

目的: 验证分布均匀性

适合大规模数据(1000次以上)验证。

验证3:熵测量

目的: 定量化随机性程度

香农熵:

H = -Σ [P(i) × log₂ P(i)]

最大熵(完全随机):

H_max = log₂ n

例: 5个结果则 H_max = log₂ 5 ≈ 2.32

实际熵接近此值则随机性高。

实践:体验阿弥陀籤公平性

实验1:小规模阿弥陀籤(3人)

设定:

• 3条竖线
• 3条横线

所有可能结果(3! = 6种):

1. (1,2,3) → (1,2,3)
2. (1,2,3) → (1,3,2)
3. (1,2,3) → (2,1,3)
4. (1,2,3) → (2,3,1)
5. (1,2,3) → (3,1,2)
6. (1,2,3) → (3,2,1)

改变横线配置模式,确认各结果等概率出现。

实验2:大规模模拟

在Amida-san尝试以下操作:

1. 10人实施100次抽奖
2. 记录各自获得"第1名"的次数
3. 确认是否接近理论值10次

预期结果: 各自获得第1名次数约10次(±3次左右偏差)

常见问题

Q1: 横线少不公平吗?

回答: 横线少有以下问题:

• 不能等概率生成所有置换
• 预测变容易

推荐数量: n人情况建议画2n条以上横线(公司年会等大型活动适用)。

Q2: 画横线顺序有影响吗?

回答: 没有,无影响。

数学理由: 置换合成是结合的(associative),无论以何种顺序画横线,最终置换相同。

Q3: 数字工具的随机数可靠吗?

回答: 因工具而异。可靠工具的条件:

• 开源可验证
• 使用密码学安全随机数生成器(CSPRNG)
• 透明性高的机制

Amida-san由全体参与者添加横线,因此运营者也无法操控结果。

Q4: 人画横线不就不随机了吗?

回答: 个人可能有意配置,但多人意图混合后结果就产生随机性。

这类似"群体智慧"现象,众多独立判断汇集后整体达到平衡。

Q5: 有比阿弥陀籤更公平的方法吗?

回答: 理论上,使用**真随机数生成器(TRNG)**的数字抽奖最公平。

但TRNG:

• 需要特殊硬件
• 透明性低(黑盒)
• 参与者无法验证

阿弥陀籤的公平性与透明性平衡最优秀。

总结

科学证明抽奖公平性的条件:

1. 等概率性: 所有结果等概率
2. 独立性: 不受上次结果影响
3. 不可预测性: 事前预测困难
4. 一一对应: 全员获得不同结果

阿弥陀籤在数学上满足所有这些:

• 一一对应: 由置换性质保证
• 等概率性: 足够横线由Fisher-Yates理论保证
• 不可预测性: 3条以上横线实用上满足
• 透明性: 过程完全可视化

要实现科学证明的公平抽奖,请使用Amida-san。